№39473

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч, теорема Фалеса,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Середина боковой стороны равнобокой трапеции с основаниями \(а\) и \(b\) (\(а < b\)) соеди­нена с основанием ее высоты (см. рис. ниже). Дока­жите, что: а) \(HD = \fraq{b - a}{2}\); б) \(АН = MN = \fraq{a + b}{2}\).

Ответ

NaN

Решение № 39457:

\(MN\) - средняя линия трапеции по свойству средней линии трапеции. \(MN \parallel AD\) и \(MN \parallel BC\). По условию \(AM = MB\), \(CN = ND\), \(AB = CD \longrightarrow AM = MB = CN = ND\). Рассмотрим \(\angle HCD: CN = ND\),\(AD \parallel MN \longrightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые \(AD\) и \(MN\), проходящие через точки \(D\) и \(N\), отсекают на второй стороне равные отрезки, т. е. \(СК = КН\). T. к. \(MN \parallel AD\), a \(CH \perp AD\), то \(CK \perp MN \longrightarrow \Delta CKN = \Delta HKN\) (по двум катетам) \(\longrightarrow CN = NH\). \(\Delta DNH\) - равнобедренный \(DN = NH\) \(\longrightarrow\) \(/angle NDH = \angle NHD\). По свойству равнобокой трапеции \(\angle BAD = \angle CDA = \angle BAD = \angle NHD\), a эти углы являются соответственными при прямых \(МА\) и \(МН\) и секущей \(АН \longrightarrow AM \parallel NH\). Рассмотрим четырехугольник \(AMNH: AM \parallel NH\), \(AM = NH \longrightarrow AMNH\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\longrightarrow\) a) \(АН = MN\); по свойству средней линии \(MN = \fraq{a+ b}{2}\), т. e. \(AH = \fraq{1}{2}(a+b)\); б) \(HD = AD - AH = b - \fraq{a + b}{2} = \fraq{2b - a - b}{2} = \fraq{b - a}{2}/)