№39472
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч, теорема Фалеса,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности. Решите задачу 197 при условии, что точки \(А\) и \(B\) лежат по разные стороны от прямой \(l\).
Ответ
Ответ: \(2 см\)
Решение № 39456:
1) Проведем среднюю линию \(KL\) трапеции \(ABCD\). По определению средней Линии \(АК = КВ\) и \(CL = LD\). По свойству средней линии \(KL \parallel AD\) и \(KL \parallel BC\). Рассмотрим \(/angle BDC; CL = LD\) и \(LK \parallel BC \longrightarrow\) по теореме Фалеса \(LK\) пересекает сторону \(BD\) посередине \(\longrightarrow\) т. \(F\) лежит на прямой \(LK\). Рассмотрим \(\angle BAC: AK = KB\) и \(KL \parallel BC \longrightarrow\) по теореме Фалеса \(KL\) делит сторону \(АС\) пополам =› т. \(Е\) лежит на прямой \(LK\). Т.к. \(LK \parallel AD\) и \(LK \parallel BC\), то \(EF \parallel AD\) и \(EF \parallel BC\). Рассмотрим \(\Delta ACD: EL\) - средняя линия \(\Delta ACD \longrightarrow\) по свойетву средней линии \(EL = \fraq{1}{2}AD\). Рассмотрим \(\Delta BDC: FL\) - средняя линия \(\Delta BDC \longrightarrow\) по свойству средней линии \(FL = \fraq{1}[2}BC\) 2) Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Проведем \(АН_{1} \perp 1\), \(BH_{3} \perp l\), \(CH_{2} \perp l \longrightarrow AH_{1} = 7 см\), \(BH_{3} = 14 см\) и \(AH_{1} \perp BH_{3}\), а \(CH_{2}\) - искомое расстояние. Т.к. \(;AH_{1} \parallel ВН_{3}\), то \(АН_{1}ВН_{1}\) трапеция. Рассмотрим \(\angle BAH_{3}: AC = CB\), \(ВН_{3} \parallel CH_{1} \longrightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые \(СН_{2}\) и \(ВН_{3}\) проходящие через точки \(С\) и \(В\), отсекают на \(Н_{1}Н_{3}\). равные отрезки, т. е. \(H_{1}H_[2} = H_{2}H_{3}\). T. e. отрезок \(СH_{2}\), соединяет середины диагоналей трапеции \(\longrightarrow\) по доказанному в задаче 201 (1) \(СН_{1} = \fraq{1}{2}(ВН_{3} - АН_{1}) = 2 см\). Ответ: \(2 см\).