№39470
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч, теорема Фалеса,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(ВС\) и \(АО\) параллелограмма \(ABCD\) . Докажите, что прямые \(AM\) и \(CN\) делят диагональ \(BD\) на три равные части.
Ответ
NaN
Решение № 39454:
По свойству параллелограмма \(AD = BC\), \(М\) - середина \(BC\), \(N\) - середина \(AD \Rightarrow BM = MC = AN = ND\). По определению параллелограмма \(AD \parallel BC \Rightarrow AN \parallel MC\). Рассмотрим четырехугольник \(AMCN\): \(NA \parallel MC\) и \(NA = MC \Rightarrow AMCN\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(AM \parallel NC\). Рассмотрим \(\angle ADB\): \(AN = ND\), \(AM \parallel CN \Rightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(A\), \(N\), \(D\), отсекают на другой стороне угла \(\angle ADB\) равные отрезки \(\Rightarrow DL = LK\). Рассмотрим \(\angle DBC\): \(BM = MC\), \(AM \parallel NC \Rightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(В\), \(М\), \(С\), отсекают на другой стороне угла \(\angle CBD\) равные отрезки \(\Rightarrow ВK = KL \Rightarrow BK = KL = LD\). Доказано.