№39438

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Точки \(D\), \(E\) и \(F\) — середины сторон \(АВ\), \(ВС\) и \(АС\) ранего треугольника \(АВС\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(ADEF\) — ромб. Назовите другие ромбы, тремя вершинами которых являются точки \(В\) , \(Е\) и \(F\) .

Ответ

NaN

Решение № 39422:

Дано: \(\Delta ABC\) равносторонний; \(AD = DB\); \(BE = EC\); \(CF = FA\). Доказать: \(ADEF\) - ромб. \(\Delta АВС\) - равносторонний \(\rightarrow AB = ВС = АС\). T. к. \(AD = DB\), то \(AD = DB= \fraq{AB}{2}\); T. K. \(BE = EC\), то \(BE = EC = \fraq{AB}{2}\), т. к. \(AF = FC\), то \(AF = FC = \fraq{AB}{2} \rightarrow BE = EC = AD = DB =AF FC\). По свойству равностороннего треугольника: \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\). Рассмотрим \(\Delta FEC : FC = EC \rightarrow \Delta FEC\) - равнобедренный, по свойству равнобедренного треугольника \(\angle CFE = \angle CEF\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle C + \angle CFE + \angle FEC= 180^\circ \rightarrow \angle CFE = \angle CEF = (180^\circ - 60^\circ) : 2 = 60^\circ\); \(\angle ECF = 60^\circ \rightarrow \Delta EFC\) - равносторонний. \(\rightarrow ЕС = EF\). Аналогично \(\Delta DBE\) - равносторонний \(\\rightarrow BE = DE\). В четырехугольнике \(ADEF: AD = DE = EF \rightarrow AF = \Delta ADEF\) - ромб (по признаку). \(DFEB\) и \(DFCE\) - тоже являются ромбами.