№39437

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Постройте: а) прямоугольник по диагонали и периметру; б) ромб по высоте и острому углу; в) равнобокую трапецию по разности оснований, боковой стороне и диагонали.

Ответ

NaN

Решение № 39421:

Предположим, что данный прямоугольник построен. Тогда \(АЕ\) это полупериметр; \(\Delta CDE\) - прямоугольный и равнобедренный, а \(\Delta ACD\) - прямоугольный с гипотенузой \(d\) и суммой катетов \(Р : 2\). Построение: Разделим отрезок пополам. На луче \(а\) от т. \(А\) отложим отрезок длиной \(Р : 2 \rightarrow\) долучим т. \(F\) От луча \(FA\) отожим угол в \(45^\circ\) с вершиной в т. \(Е\) Проведем засечку радиусом \(d\) с центром в т. \(А\) = получим т. \(С\). Из т. \(С\) опустим высоту на \(AF \rightarrow\) получим т. \(D\). Через т. \(С\) проведем прямую \(\parallel AD\) и через т. \(А\) проведем прямую \(\parallel DC\), их пересечение - т. \(В\). Доказательство: \(ABCD\) - прямоугольник по построению: \(AC = d\), \(AD + DC = P : 2 = ABCD\) - искомый прямоугольник. Исследование: Задача имеет единственное решение. 6) Пусть \(h\) - высота ромба (все высоты у ромба равны), а данный острый угол ромба. Построить: ромб. Анализ: Пусть искомый ромб \(ABCD\) построен. \(\Delta АЕВ\) можно построить по катету и острому углу, прилежащему к этому катету \(\rightarrow\) получим две вершины ромба - \(А\) и \(В\). Вершину \(С\) получим, отложив на прямой \(ВЕ\) отрезок \(ВС\) = т. \(С\). Вершину \(D\) получим, построив \(\Delta ADC = \Delta АВС\). Построение: 1) Построим \(\Delta ABE\) катету \(h\) и прилежащему к нему углу \(90^\circ - \alpha \rightarrow\) получим т. \(B\). 2) Отложим отрезок \(ВС = АВ\) на прямой \(BE \rightarrow\) т. \(C\). 3) Построим \(\Delta ADC = \Delta АВС\) (по трем сторонам) \(rightarrow\) т. \(D\). 4) Соединим последовательно точки \(А\), \(B\), \(C\) и \(D\). Доказательство: По построению \(АВ = BC = CD = AD \rightarrow ABCD\) - ромб по определению. \(АЕ\) - высота ромба, \(АЕ = h\) (по построению). \(\angle BAE = 90^\circ - \alpha \rightarrow \angle ABE = \alpha\), T. e. острый угол ромба \(= \alpha = ABCD\) - искомый ромб. в) Пусть \(b - а\) - разность длин оснований данной трапеции, \(с\) - боковая сторона, \(d\) - диагональ. Построить: трапецию. Пусть искомая трапеция \(ABCD\) построена \(BC = a, AD = b, CD = c, CA = d\). \(\Delta АВН_{2}\) можно построить по гипотенузе и катету \(\rightarrow\) получим две вершины трапеции - \(B\) и \(A\). Далее проведем прямую \(\parallel АН_{2}\) через т. \(В\) сделаем на этой прямой засечку радиусом \(d\) с центром в т. \(А \rightarrow\) получим т. \(С\). Вершину \(D\) получим, сделав засечку радиусом \(c\) на прямой \(АН_{2}\) с центром в т. \(С \rightarrow\) получим т. \(D\). Построение: Разделим отрезок \(b\) - а пополам. Построим \(\DElta ABH_{2}\) по гипотенузе \(AB\) и катету \(АН_{2} \fraq{b-a}{2} \rightarrow\) т. \(B\). 3) Проведем \(l \parallel АН_{2}\) так, что \(B \in l\) На прямой \(l\) сделаем засечку дуги радиусом \(d\) с центром в т \(A \rightarrow\) получим т. \(С\). На прямой \(AH_{2}\) - сделаем засечку дуги радиусом \(c\) с центром с т. \(С \rightarrow\) получим т. \(D\). 6) Соединим последовательно точки \(А\), \(B\), \(C\) и \(D\). Доказательство: \(BC \parallel AD \rightarrow ABCD\) - трапеция. \(АН_{2} = (b - a) : 2\); \(AC = d \rightarrow ABCD\) - искомая трапеция. Исследование: Задача имеет единственное решение при любых значениях \(с\), \(d\) и \(b - а\).