№39436

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Постройте: а) параллелограмм по стороне, диагонали и углу, противолежащему этой диагонали; б) ромб по высоте и диагонали; в) трапецию по основаниям и диагоналям

Ответ

NaN

Решение № 39420:

Анализ: Пусть параллелограмм \(ABCD\) - построен. \(\Delta ABD\) можно построить по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Т. о. мы получим три вершины параллелограмма \(A\), \(В\) и \(D\). Вершину \(С\) получим, построив \(\Delta CDB\), равный \(\Delta ABD\). Построение: 1) Построим \(Delta ABD\) по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Для этого построим убол, равный углу а. На одной его стороне оделаем засечку радиусом \(\alpha\) с центром в т. \(А \rightarrow\) получим т. \(В\). На второй стороне угла сделаем \(\rightarrow \) т. \(D\). 2) Построим \(\Delta CDB\), равный \(\Delta ABD\) по трем сторонам. Доказательство: \(AB = DC\), \(AD = BC\), \(BD = d\), \(\angle BAD = \alpha\) по построению. \(\rightarrow ABCD\) - искомый параллелограмм. Исследование: Задача имеет единственное решение при всех значениях \(а, d\) и \(\alpha\). б) Пусть \(d\) диагональ данного ромба, \(h\) - его высота Построить: ромб. Анализ: Пусть искомый ромб \(ABCD\) построен. \(\Delta AFC\) можно построить по гипотенузе и катету \(AC = d, AF = h\). T. о., получены две вершины - \(А\) и \(С\). Вершину \(В\) можно получить как пересечение серединного перпендикуляра к отрезку \(АС\) и прямой \(FC\) Вершину \(D\) получим, отложив отрезок \(OD = OB\) от т. \(O\) на прямой \(ВО\). Построение: 1) Построи \(\Delta AFC\) по гипотенузе \(d\) и катету \(h\). 2) Проведем серединный перпендикуляр к отрезку \(AC \rightarrow\) точка пересечения прямой \(FC\) и серединного перпендикуляра - т. \(В\). 3) От т. \(О\) отложим отрезок \(ОD = OB\) (на прямой \(BO\)) 4) Соединим последовательно точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Докавательство \(AO = OC\), \(BO = OD \rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку. \(BD \perp AC\) по построению \(\rightarrow ABCD\) - ромб. Диагональ \(AC = d\) и высота ромба равна \(h \rightarrow ABCD\) - искомый ромб. Исследование: Задача имеет единственное решение при \(d > h\). данные основания трапеции. \(d_{1}\) и \(d_{2}\) - ее диагонали. Построить: трапецию. Анализ: Пусть искомая трапеция \(ABCD\) построена. Проведем через вершину \(С\) прямую \(CE \parallel BD\). Тогда \(BCED\) - параллелограмм по определению \(\rightarrow CE = BD\) и \(BC = DE \rightarrow AE = b + а\). Вспомогательный \(\Delta АСЕ\) можно построить, по трем сторонам \(\rightarrow\) получим две вершины трапеции \(А\) и \(С\). Вершину \(В\) получим, отложив отрезок \(ED\) а на прямой \(АЕ\). После этого нужно провести прямую \(ВС \parallel AD\) и отложить от т. \(С\) отрезок, равный \(а \rightarrow\) получим т. \(В\). Построение: 1) Построим \(\Delta ACE\) по трем сторонам \(AE = b + a, AC = d_{1} , CE = d_{2}\). От т. \(Е\) отложим отредок \(ED = а \rightarrow\) получим т. \(D\). Проведем прямую \(l\) \(AD\) и \(C \in l\). На прямой \(l\) от. \(С\) отложим отрезок \(СВ = а \rightarrow\) получим т. \(В\). Соединим последовательно точки \(А\), \(B\), \(C\) и \(D\). Доказательство: \(BC \parallel AD\) по построению, \(\rightarrow ABCD\) - трапеция. \(BC = a\), \(AD = b\), \(AC = d_{1}\), \(BD = CE = = d_{2} = ABCD\) - искомая трапеция. Исследование: Задача имеет единственное решение, если для чисел \(b + a\), \(d_{1}\) и \(d_{2}\) выполнено неравенство треугольника, т. е. \((b + а) > d_{1} + d_{2}, d_{1} > (b + a) + d_{2}, d_{2} > (b + a) + d_{1}.