№39435

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагонали равнобокой трапеции образуют с ее основанием равные углы, и наоборот: если диагонали трапеции образуют с ее основанием равные углы, то трапеция равнобокая. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39419:

Т. к. трапеция равнобокая, то ее диагонали равны (задача N 163. (1)) \(\rightarrow AC = BD\). Рассмотрим \(\Delta ABD\) и \(\Delta DCA: AD\) - общая, \(АВ = CD\) - по условию, \(AC = BD \rightarrow \Delta ABD = \Delta DCA\) трем сторонам \(\rightarrow \angle CAD = \angle BDA\) Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(Delta DCB: BC\) - общая, \(AB = CD\) по условию, \(AC = BD \rightarrow \Delta ABC = \Delta DCB\) по трем сторонам \(\rightarrow \angle ACB = \angle DBC\). 2) Проведем высоты \(QH_{1}\) и \(RH_{2}\) Pacсмотрим \(\DeltaQH_{1}S\) и \(\Delta RH_{2}S: QH_{1}S = RH_{w} = 90^\circ \rightarrow \Delta QH_{1}S= \Delta RH_{2}S\) по катету и острому углу \(\rightarrow QS = PR\). Если у трапеции диагонали равны, то трапеция равнобокая