№39434

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагонали равнобокой трапеции равны, и наоборот: если диагонали трапеции равны, то она равнобокая. Докажите.

Ответ

NaN

Решение № 39418:

Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta DCB: ВС\) - общая, \(AB = CD\) (т. к. трапеция равнобокая), \(\angle ABC = \angle DCB\) по свойству равнобокой трапеции \(\rightarrow \Delta АВС = \Delta ADC\) до двум сторонам и углу между ними \(\rightarrow AC = BD\). 2) Дано: \(PQRS\) - трапеция, \(PS \parallel QR\), \(QS = PR\). Доказать: \(PQRS\) - равнобокая. Проведем высоты \(QH_{1}\) и \(RH_{1}\), \(QH_{1} = RH_{2}\). Рассмотрим \(\Delta PRH_{2} и \(\Delta SQH_{1} : QS = PR\) по условию, \(QH_{1} = RH_{1}\) и \(\angle QH_{1}S= \angle RH_{2}Q = 90^\circ \rightarrow \Delta PRH_{2} =\Delta QSH_{1}\), по гипотенузе и катету \(\rightarrow \angle RPH_{2} = \angle QSH_{1}\). Рассмотрим \(\Delta PQS\) и \(\Delta SRP: PS\) - общая, \(\angle RPH_{2}= \angle QSH_{1}, QS = PR\) условию, \(\rightarrow \Delta PQS = \Delta SRP\) по двум сторонам и углу между ними. \(\rightarrow PQ = RS\), T. e. \(PQRS\) равнобокая трапеция.