№39432

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагональ делит равнобокую трапецию на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Ответ

Ответ: \(108^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\), \(108^\circ\)

Решение № 39416:

Решение: \(\Delta ABD\) - равнобедренный. Пусть \(\angle ABD= х\), тогда \(\angle ADB = х\) (как углы при основании равнобедренного \(\Delta ABD\)). \(\angle ADB\) и \(\angle DBC\) - накрест лежащие при \(AD \perallel BC\) и секущей \(BD \rightarrow \angle DBC= \angle ADB = х\). \(\Delta BCD\) - равнобедренный \(\rightarrow \angle BCD = \angle BDC - (180^\circ - \angle DBC): 2 = (180° - х): 2\). Трапеция \(ABCD\) - равнобокая \(\rightarrow \angle ABC = \angle BCD = (180^\circ - x): 2\). Поскольку также \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = x + x = 2х\), то \((180^\circ - х): 2 = 2x\); \(5х = 180^\circ\); \(х = 36^\circ\). Тогда \(\angle ABC = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ\); \(\angle BCD = 72^\circ\); \(\angle BAD = (180^\circ - 2 \cdot 36^\circ) = 108^\circ\); \(\angle ADC = \angle BAD = 108^\circ\) Ответ: \(108^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\), \(108^\circ\)