№39431

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Постройте: а) ромб по углу и диагонали, противолежащей этому углу; б) прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями; в) прямоугольную трапецию по меньшему основанию, большей боковой стороне и большей диагонали.

Ответ

NaN

Решение № 39415:

а) Пусть \(d\) - данная диагональ ромба, \(\alpha\) - угол, противолежащий данной диагонали. Анализ. Пусть ромб \(ABCD\) построен. \(\Delta АВС\) можно построить по стороне и двум прилежащим к ней углам (\(AC = d\), \(\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \alpha) : 2\)). T. o. мы получим три вершины ромба - \(А\), \(В\) и \(С\). Вершину \(D\) можно получить, построив \(\Delta ADC\) по трем сторонам (\(AB = AD\) и \(BC = CD\)). Построение: 1) Построим угол \(180^\circ - \alpha\). 2) Разделим утол \(180^\circ - \alpha\) пополам (проведем биссектрису). 3) Построим \(\Delta АВС\) по стороне и двум прилежащим к ней углам: \(АС = d\), \(\angle BAC = \angle BCD = (180^\circ - \alpha) : 2\). 4) Построим \(\Delta ADC\) по трем сторонам. Доказательство: \(\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \alpha) : 2\) и \(AC = d\) по построению \(\Rightarrow \Delta АВС\) - равнобедренный с углом при вершине \(\alpha\). T. к. \(AB = AD\) и \(BC = CD\) (по построению), то \(АВ = ВС = CD = AD \Rightarrow ABCD\) - ромб с диагональю \(d\) и противолежащим ей углом \(\alpha\). Исследование: Задача имеет единственное решение при всех значениях \(d\) и \(\alpha\). б) Пусть \(d\) - длина диагоналей прямоугольника, \(\alpha\) - угол, под которым они пересекаются. Анализ: Пусть прямоугольник \(ABCD\) построен. \(\Delta AОВ\) можно построить по двум сторонам и углу между ними \((AO = BO= \fraq{d}{2} Ł \angle AOB = \alpha)\) . Т. о. получим две вершины прямоугольника - \(А\) и \(В\). Вершины \(С\) и \(D\) можно получить, удвоив отрезки \(АO\) и \(ВО\). Построение: 1) Построим отрезом \(d\) и разделим его пополам. 2) Построим \(\Delta АОВ\) по двум сторонам и углу между ними. 3) На лучах \(АО\) и \(ВО\) отложим отрезки \(OC = AO\) и \(OD = BO\). 4) Последовательно соединим точки \(А\), \(B\), \(C\) и \(D\). Доказательство: По построению: \(ОА = ОС\) и \(DO = OB \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. \(OA = OB \Rightarrow OD = OC \Rightarrow AC = BD \Rightarrow\) параллелограмм \(ABCD\) является прямоугольником по признаку. По построению \(AO = \fraq{d}{2} \Rightarrow AC = d\), \(\angle АОВ = \alpha \Rightarrow ABCD\) - искомый прямоугольник. Исследование: Задача имеет единственное решение при всех значениях \(\alpha\). в) Пусть \(а\) - данное меньшее основание трапеции, \(с\) - данная большая боковая сторона, \(d\) - большая диагональ. Анализ: Пусть искомая трапеция \(АВСD\) построена. Треугольник \(BCD\) можно построить по трем сторонам (\(BC = а\); \(CD = c\); \(BD = d\)). Т. о. получим три вершины \(В\), \(С\) и \(D\) искомой трапеции. Вершину \(А\) можно получить как пересечение перпендикуляра к прямой \(ВС\) через т. \(В\) и прямой, параллельной прямой \(ВС\), проходящей через т. \(D\). Построение: 1) Построим \(\Delta BCD\) по трем сторонам. 2) Проведем прямую \(l_{1} \perp ВС\) и \(B \in l_{1}\). 3) Проведем прямую \(l_{2} \perp ВС\) и \(D \in l_{2}\). Доказательство: По построению \(ВС \parallel AD\), \(BA \perp ВС\), \(BA \perp AD \Rightarrow ABCD\) - прямоугольная трапеция с диагональю \(d\), меньшим основанием \(а\) и боковой стороной \(с\). Исследование: Задача имеет единственное решение, если для чисел \(а\), \(с\) и \(d\) выполнено неравенство треугольника, т. e. если \(a + c > d\), \(a + d > c\), \(c + d > a\).