№39430

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Постройте: а) параллелограмм по двум сторонам и диагонали; б) ромб по стороне и диагонали; в) равнобокую трапецию по большему основанию, боковой стороне и острому углу.

Ответ

NaN

Решение № 39414:

а) Пусть \(a\) и \(b\) - данные стороны параллелограмма, \(d\) - его диагональ. Анализ: Пусть параллелограмм \(ABCD\) построен. \(\Delta АВС\) можно построить по трем сторонам (\(AB = a\); \(BC = b\); \(AC = d\)). T. o. мы получим три вершины параллелограмма \(А\), \(В\), \(С\). Вершину \(D\) можно получить, построив \(\Delta ACD\) по трем сторонам (\(CD = a\); \(AD = b\); \(AC = d\). Построение: 1) Построим \(\Delta ABC\) по трем сторонам. На луче \(l\) от т. \(А\) отложим отрезок длиной \(d\), получим т. \(С\). Проведем дугу окружности с центром в т. \(А\) радиусом \(a\). Проведем дугу окружности: центр в т. \(С\) радиусом \(b\). \(\Rightarrow\) Их пересечение - т. \(В\). 2) Построим \(\Delta ADC\) по трем сторонам. Проведем дугу окружности: центр в т. \(С\) радиусом \(а\). Проведем дугу окружности с центром в т. \(А\) радиусом \(b \Rightarrow\) их пересечение - т. \(D\). Доказательство: По построению \(AB = CD = a\), \(BC = AD = b \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах со сторонами \(а\) и \(b\) и диагональю \(d\). Исследование: Задача имеет единственное решение, если для чисел \(а\), \(b\), \(d\) выполнено неравенство треугольника (\(a + b > d\), \(a + d > b\), \(b + d > a\)). б) Пусть \(a\) - данная сторона, \(d\) - данная диагональ ромба. Анализ: Пусть ромб \(ABCD\) построен. Треугольник \(АВС\) можно построить по трем сторонам (\(AC = d\), \(AB = a\), \(BC = a\)), T. о. мы получим три вершины параллелограмма - \(А\), \(В\), \(С\). Вершину \(D\) можно получить, построить \(\Delta АDC\) по трем сторонам (\(AD = DC = a\) и \(AC = d\)). Построение: 1) Построим \(\Delta ABC\) по трем сторонам (алгоритм построения - в задании 159 а). 2) Построим \(\Delta АDC\) по трем сторонам. Доказательство: По построению \(AB = BC = AD = DC = a \Rightarrow ABCD\) - ромб. Исследование: Задача имеет единственное решение, если \(а + а > c\), т. е. \(2а > с\) (выполнено неравенство треугольника). в) Пусть \(а\) - данное большее основание трапеции, \(c\) - данная боковая сторона. \(\alpha\) - данный острый угол. Анализ: Пусть трапеция \(KLMN\) построена. \(\Delta LKN\) можно построить по двум сторонам и углу между ними. Т. о. мы получим три вершины трапеции - \(L\), \(K\) и \(N\). Вершину \(М\) можно получить, построив \(LM \parallel KN\) и проведя дугу радиусом \(c\) с центром в т. \(N\). Построение: 1) Построим \(\Delta KLN\) по двум сторонам и углу между ними (\(KL = c\), \(KN = a\), \(\angle LKN = \alpha\)). 2) Проведем прямую \(l\) через т. \(L\), причем \(l \perp KN\). 3) Проведем дугу окружности с центром в т. \(N\) и радиусом \(с \Rightarrow\) пересечение дуги и прямой \(l\) - т. \(M\). Доказательство: \(LM \perp KN\) по построению, \(KL = MN\) по построению, \(\angle LKN = \alpha \Rightarrow KLMN\) - равнобокая трапеция с большим основанием \(a\), боковой стороной \(c\) и острым углом \(\alpha\).