№39427

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В равнобокой трапеции меньшее основание равно 15 см, а диагональ делит пополам острый угол, равный \(60^\circ\). Найдите периметр трапеции.

Ответ

75 см.

Решение № 39411:

\(\angle CBD = \angle BDA\) - как внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(BD\). \(\angle BDC = \angle BDA\) по условию \(\Rightarrow \angle CBD = \angle BDC \Rightarrow \Delta CBD\) - равнобедренный по признаку \(\Rightarrow BC = CD\) - по определению равнобедренного треугольника \(\Rightarrow AB = CD = BC = 15\) см. Проведем высоты \(ВН\) и \(СК\). Рассмотрим \(\Delta АВН\) и \(\Delta DCK\): \(\angle BAH = \angle CDH\) (по свойству равнобокой трапеции); \(\angle BHA = \angle CKD = 90^\circ\); \(AB = CD\) (т. к. трапеция равнобокая) \(\Rightarrow \Delta АВН = \Delta DCK \Rightarrow AH = KD\). В \(\Delta АВН\): \(AB = 15\) см, \(\angle ABH = 30^\circ \Rightarrow АН = 7,5\) см как катет, лежащий против угла \(30^\circ \Rightarrow KD = 7,5\) см. \(НВСK\) - прямоугольник \(\Rightarrow ВС = НK = 15\) см \(\Rightarrow AD = 30\) см. \(R_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 15 \cdot 3 + 30 = 75\) см.