№39426
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
В равнобокой трапеции середина большего основания соединена с вершинами меньшего основания. При этом образовались три равносторонних треугольника. Найдите: а) углы трапеции; б) периметр трапеции, если периметр одного треугольника равен 12 м.
Ответ
a) \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\); б) 20 м.
Решение № 39410:
а) Т. к. \(\Delta ABK\) - равносторонний, то \(\angle BAK = 60^\circ\) (по свойству равностороннего треугольника). \(\angle BAK + \angle ABC = 180^\circ\) - как углы трапеции, прилежащие к боковой стороне \(\Rightarrow \angle ABC = 120^\circ\). По свойству равнобокой трапеции \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\). T. e. \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\), \(\angle C = 120^\circ\), \(\angle D = 60^\circ\). б) Т. к. \(\Delta АВK\), \(\Delta ВКС\) и \(\Delta CKD\) - равносторонние и имеют общие стороны, то \(\Delta АВK = \Delta ВKС = \Delta CKD\) по трем сторонам \(\Rightarrow AB = AK = KD = DC = BC\). \(Р_{\Delta ABK} = 12\) м, а т. к. \(\Delta АВК\) - равносторонний, то \(AB = 12 : 3 = 4\) (м). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\), но \(AD = 2AK\) (т. к. \(K\) - середина \(AD\)). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + 2AK = 5AB = 2\) (м).