№39424

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите углы: а) прямоугольной трапеции, если отношение наибольшего и наи­меньшего из них равно \(3:2\); б) равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно боковой стороне и вдвое меньше большего основания.

Ответ

а) \(90^\circ, 90^\circ, 108^\circ, 72^\circ\); б) \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).

Решение № 39408:

\(\angle K = \angle P = 90^\circ\) (т. к. трапеция прямоугольная). Пусть градусная мера \(\angle Т = 3х\), тогда градусная мера \(\angle F = 2x\). Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\), т.e. \(\angle T + \angle F = 180^\circ\); \(5x = 180^\circ\); \(x = 36^\circ \Rightarrow \angle T = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ\), \(\angle F = 72^\circ\). б) Обозначим т. \(K\) - середину \(AD\): \(AK = KD = CD = BC = AB\). Проведем отрезок \(СK\). Рассмотрим четырехугольник \(АВСK\): \(BC \parallel AK\), \(ВС = АK \Rightarrow АВСK\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По свойству параллелограмма \(АВ = СK\). B \(\Delta CKD\): \(CK = KD = CD \Rightarrow \Delta CKD\) - равносторонний \(\Rightarrow \angle CKD = \angle CDK = \angle DCK = 60^\circ\), т. e. \(\angle D = 60^\circ\). \(\angle D + \angle C = 180^\circ\) по свойству углов, прилежащих к боковой стороне \(\Rightarrow \angle С = 120^\circ\). По свойству равнобокой трапеции \(\angle D = \angle A = 60^\circ\); \(\angle C = \angle B = 120^\circ\).