№39423
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, трапеция,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Найдите углы: а) равнобокой трапеции, если разность двух ее противолежащих углов равна \(80^\circ\); б) прямоугольной трапеции, в которой диагональ является биссектрисой тупого угла и образует с меньшей боковой стороной угол \(35^\circ\).
Ответ
а) \(50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ\); б) \(90^\circ, 90^\circ, 110^\circ, 70^\circ\).
Решение № 39407:
а) \(\angle K + \angle M = 180^\circ\) (доказано в задаче №151). \(\angle M - \angle N = 80^\circ \Rightarrow \angle M = \angle K + 80^\circ\); \(\angle K + \angle K + 80^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle K = (180^\circ - 80^\circ) : 2 \Rightarrow \angle K = 50^\circ\), a \(\angle M = 130^\circ\). По свойству равнобокой трапеции \(\angle K = \angle N\) и \(\angle L = \angle M\). б) Т. к. трапеция прямоугольная, то \(\angle A = \angle B = 90^\circ\). Рассмотрим \(\Delta АВС\): по теореме о сумме углов треугольника \(\angle BAC + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ \Rightarrow \angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Т. к. \(CA\) - биссектриса \(\angle BCD\), то \(\angle BCD = \angle BCA \cdot 2 = 110^\circ\). Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\), т. е. \(\angle C + \angle D = 180^\circ \Rightarrow \angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).