№39407
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Прямая, параллельная основанию \(АС\) равнобедренного треугольника \(АВС\), пересекает боковые стороны \(АВ\) и \(ВС\) в точках \(D\) и \(Е\) соответственно. а) Докажите, что \(АЕ = СD\). б) Найдите углы четырехугольника \(АDЕС\), если \(\angle В = 80^\circ\).
Ответ
а) Утверждение доказано; б) \(130^\circ, 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ\).
Решение № 39391:
a) \(\Delta АВС\) - равнобедренный \(\Rightarrow \angle A = \angle C\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(DE \parallel AC\), \(АВ\) - секущая \(\Rightarrow \angle BDE = \angle BAC\) - как соответственные. \(DE \parallel AC\), \(BC\) - секущая, \(\Rightarrow \angle BED = \angle BCA\) - как соответственные. \(\angle BAC = \angle BCA \Rightarrow \angle BDE = \angle BED \Rightarrow \Delta BDE\) - равнобедренный по признаку \(\Rightarrow BD = BE\). \(AD = AB - BD\) и \(EC = BC - BE\), а т. к. \(BD = BE\) и \(AB = BC\), то \(AD = EC\). Рассмотрим \(\Delta ADC\) и \(\Delta CEA\): \(\angle DAC = \angle ECA\), \(AC\) - общая, \(AD = EC \Rightarrow \Delta ADC = \Delta СЕА\) по двум сторонам и углу между ними \(\Rightarrow AE = DC\). б) \(\angle ABC = 80^\circ\). По теореме о сумме углов треугольника (в \(\Delta АВС\)) \(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ \Rightarrow \angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - 80^\circ) : 2 = 50^\circ\). \(DE \parallel AC\), \(AB\) - секущая \(\Rightarrow \angle ADE + \angle DAC = 180^\circ\) - как внутренние односторонние \(\Rightarrow \angle ADE = 130^\circ\). \(\angle CED = 130^\circ\) (доказывается аналогично).