№39406

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника, не являющегося квадратом, пересекаясь, образуют квадрат.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39390:

Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом (доказано в задаче №63) \(\Rightarrow \angle BKA = \angle CMD = \angle BNC = \angle ALM = 90^\circ\). \(\angle BKA = \angle LKN\) и \(\angle CMD = \angle LMN\) как вертикальные. В четырехугольнике \(LMNK\) все углы \(90^\circ \Rightarrow KLMN\) - прямоугольник. Рассмотрим \(\Delta EMC\), \(\Delta CMD\), \(\Delta DMF\), \(\Delta TKA\), \(\Delta АKВ\) и \(\Delta ВKР\). Эти треугольники прямоугольные и равнобедренные (угол при основании \(45^\circ\)). \(EM = MC = MD = MF\); \(АK = KТ = KВ = KР\) и \(АВ = CD \Rightarrow\) данные треугольники равны \(\Rightarrow KT = KР = EM = MF\). \(\angle 1 = \angle 2 = 45^\circ\); \(\angle 3 = \angle 4 = 45^\circ\); \(\angle 5 = \angle 6 = 45^\circ\); \(\angle 7 = \angle 8 = 15^\circ\) - как вертикальные \(\Rightarrow \Delta PLE\) и \(\Delta TNF\) - равнобедренные по признаку. По свойству равнобедренного треугольника \(PL = LE\) и \(TN = NF\). T. к. \(\Delta AKT = \Delta FMD = \Delta PKB = \Delta EMC\), то \(BP = EC = AT = FD\); \(TF = AD - 2AT\); \(PE = BC - 2BP \Rightarrow TF = PF\). Рассмотрим \(\Delta TNF\) и \(\Delta PLE\): \(PE = TF\), \(\angle PEL = \angle TFN\), \(\angle PLE = \angle TNF = 90^\circ \Rightarrow \Delta TNF = \Delta PLE\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow PL = LE = TN = NF\). T. е. в прямоугольнике \(KLMN\): \(KL = LM = MN = NK \Rightarrow KLMN\) - квадрат.