№39404

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Если диагонали четырехугольника лежат на биссектрисах его углов, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39388:

\(AC\) - биссектриса \(\angle A\) и \(\angle C \Rightarrow \angle BAC = \angle CAD\) и \(\angle DCA = \angle BCA\). Рассмотрим \(\Delta АВС\) и \(\Delta ADC\): \(AC\) - общая, \(\angle BAC = \angle CAD\) и \(\angle DCA = \angle BCA \Rightarrow- \Delta АВС = \Delta ADC\) по стороне и прилежащим к ней углам \(\Rightarrow BC = CD\) и \(AB = AD\). \(DB\) - биссектриса углов \(\angle В\) и \(\angle D \Rightarrow \angle ABD = \angle DBC\) и \(\angle AOB = \angle CDB\). Рассмотрим \(\Delta ABD\) и \(\Delta CBD\): \(BD\) - общая, \(\angle ABD = \angle DBC\) и \(\angle ADB\) и \(\angle CDB \Rightarrow \Delta ABD = \Delta CBD по стороне и двум прилежащим к ней углам \(\Rightarrow АВ = ВС\) и \(AD = CD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB = BC = CD = AD \Rightarrow ABCD\) - ромб.