№39403
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Из точки пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что основания этих перпендикуляров являются вершинами прямоугольника.
Ответ
Утверждение доказано.
Решение № 39387:
Рассмотрим \(\Delta OLC\) и \(\Delta ONA\): \(ОА = ОС\) по свойству диагоналей ромба. \(\angle AON = \angle COL\) как вертикальные, \(\angle ANO = \angle CLO = 90^\circ \Rightarrow \Delta OLC = \Delta ONA\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow ON = OL\). Рассмотрим \(\Delta АКО\) и \(\Delta СМО\): \(АО = OC\), \(\angle AOK = \angle COM\) - как вертикальные, \(\angle AKO = \angle CMO = 90^\circ \Rightarrow \Delta АКО = \Delta СМО\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow КО = ОМ\). В четырехугольнике \(KLMN\): \(KO = OM\) и \(LO = ON \Rightarrow KLMN\) - параллелограмм по признаку о диагоналях. \(KN\) и \(ML\) - высоты ромба \(\Rightarrow KN = ML\) (доказано в задаче № 131 (1)). T. е. в параллелограмме \(KLMN\) диагонали равны \(\Rightarrow KLMN\) - прямоугольник по признаку.