№39402

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что все высоты ромба равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39386:

1) Доказать: высоты ромба равны. \(\angle B = \angle D\) по свойству ромба, \(АВ = ВС = CD = AD\) - по определению ромба \(\Rightarrow \Delta ABH_{1} = \Delta CBH_{2} = \Delta ADH_{3} = \Delta CDH_{4}\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow AH_{1} = AH_{3} = CH_{2} = CH_{4}\). \(\angle CBA = \angle DAH_{8}\) - как соответственные при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\). \(\angle ABC = \angle DCH_{5}\) - соответственные при \(AB \parallel DC\) и секущей \(ВС\). \(\angle ADC = \angle H_{7}AB\) - соответственные при \(DC \parallel AB\) и секущей \(AD\). \(\angle ADC = \angel BCH_{6} - соответственные при \(AD \parallel BC\) и секущей \(DC\). \(\Rightarrow \angle H_{7}AB = \angle ABC = \angle BCH_{6} = \angle H_{5}CD = \angle H_{8}AD \Rightarrow \Delta H_{2}BC = \Delta H_{7}AB = \Delta H_{6}CB = \Delta H_{5}CD = \Delta H_{8}AD\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow СH_{2} = BH_{7} = BH_{6} = DH_{5} = DH_{8} = AH_{3} = AH_{3} = AH_{1} = СH_{4}. T. е. все высоты ромба равны. Утверждение: Если в четырехугольнике все высоты равны, то данный четырехугольник является ромбом. 2) Доказать: \(ABCD\) - ромб. Рассмотрим \(\Delta Н_{2}ВС\) и \(\Delta Н_{1}DC\): \(\angle BCD\) - общий, \(BH_{2} = DH_{1}\) и \(\angle BH_{2}C = \angle DH_{1}C = 90^\circ \Rightarrow \Delta Н_{2}BC = \Delta H_{1}DC\) по катету и острому углу \(\Rightarrow BC = DC \Rightarrow \Delta BCD\) - равнобедренный \(\Rightarrow \angle CBD = \angle CDB\) по свойству равнобедренного треугольника. Рассмотрим \(\Delta АН_{4}D\) и \(\Delta AH_{3}B\): \(\angle BAC\) - общий, \(ВН_{3} = DH_{4}\), и \(\angle AH_{3}B = \angle DH_{4}A = 90^\circ \Rightarrow \Delta АН_{4}D = \Delta АН_{3}В\) по катету и острому углу \(\Rightarrow AB = AD \Rightarrow \Delta ABD\) - равнобедренный \(\Rightarrow \angle ABD = \angle ADB\) по свойству равнобедренного треугольника. Рассмотрим \(\Delta BH_{3}D\) и \(\Delta BH_{2}D\): \(BD\) - общая, \(BH_{3} = BH_{2} \Rightarrow \Delta BH_{3}D = \Delta ВН_{2}D\) по гипотенузе и катету \(\Rightarrow \angle BDA = \angle BDC\). T. к. \(\angle ADB = \angle ABD\) и \(\angle CBD = \angle CDB\), то \(\angle ABD = \angle CBD\) и \(\angle CDB = \angle ADB\). Рассмотрим \(\Delta ABD\) и \(\Delta CDB\): \(BD\) - общая, а \(\angle ABD = \angle CBD = \angle CDB = \angle ADB \Rightarrow \Delta ABD = \Delta CDB\) по стороне и двум прилежащим к ней углам \(\Rightarrow AB = ВС = CD = AD \Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) - ромб.