№39400

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит его сторону в отношении \(2 : 1\). Найдите углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника.

Ответ

\(30^\circ, 60^\circ\)

Решение № 39384:

Рассмотрим \(\Delta ВОН\) и \(\Delta DОН_{1}: \angle BOH = \angle DOH\), как вертикальные; \(BO = OD\) по свойству диагоналей утрямоугольника. \(\angle OBC = \angle ODC\) как внутренние накрест лежащие при \(AD \paralle BC\) и секущей \(BD \longrightarrow \Delta BOH = \Delta DOH\), = Проведем \(СН_{1}\). Рассмотрим \(\Delta НОС\) и \(\Delta Н_{1}ОС: \angle HOC = \angle H_{1}OC = 90^\circ\), \(OC\) - общая, \(ОН = ОН_{1} \longrightarrow \Delta НОС = \Delta Н_{1}ОС\) по двум катетам \(\longrightarrow HC = CH_{1}\), и \(\angle HCO = \angle H_{1}CO\). \(ВН : HC = 1 : 2\). T. к. \(BH = H_{1}D\) и \(HC = H_{1}C\), то \(H_{1}D : H_{1}C = 1: 2\). \(\delta H_{1}CD\) - прямоугольный и катет \(H_{1}D\) в 2 раза меньше гипотенузы \(\longrightarrow \angle H_{1}CD = 30^\circ\). \(\angle H_{1}CH + \angle H_{1}CD = \angle HCD \longrightarrow \angle H_{1}CH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) T. к. \(\angle HCO = \angle H_{1}CO = \angle H_{1}CH : 2 = 30^\circ\), т. e. \(\angle BCA = 30^\circ = \angle CAD = 60^\circ\). Ответ: \(30^\circ, 60^\circ\).