№39399

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Отрезки \(АС\) и \(ВD\) - диаметры окружности. Докажите, что \(АВСD\) - прямоугольник.

Ответ

NaN

Решение № 39383:

Рассмотрим \(\Delta AOD\) и \(\Delta BOC : AO = OD = BO = OC\) (как радиусы окружности), \(\angle BOC = \angle AOD\) (как вертикальные) \(\longrightarrow \Delta ВОС = \Delta DOA\) по двум сторонам и углу между ними \(\angle EBO = \angle ADO\). \(\angle CBO\) и \(\angle ADO\) - внутренние накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(ВС\) и секущей \(BD\) и т.к.\(\angle CBO = \angle ADO\), то \(AD \parallel ВС\) по признаку параллельных прямых. \(\Delta BOA = \Delta DOC\) по двум сторонам и углу между ними \(\longrightarrow \angle OAB = \angle OCD\) (как соответствующие элементы равных треугольников). \(\angle OAB\) и \(\angle OCD\) внутренние накрест лежащие при прямых \(АВ\) и \(CD\) и секущей \(AC\), а т. к. \(\angle OAB = \angle OCD\), то \(AB \parallel CD\) по признаку параллельных прямых. В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD = ABCD\) - параллелограмм по определению. T. к. \(AO = OC = BO = OD\), то \(AC = BD\). Параллелограмм, в котором равны диагонали, является прямоугольником, т. е. \(ABCD\) - прямоугольник по признаку.