№39395

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В равнобедренный прямоугольный тре­угольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие - на кате­тах (см. рис. ниже). Найдите гипотенузу треугольника, если сторона квадрата равна 2 см.

Ответ

\(6 см\).

Решение № 39379:

Дано: \(\Delta АВС (\angle B = 90^\circ)\), \(AB = BC\). \(КРТР\) - квадрат, \(РТ = 2 см\). Найти: \(AC\). Рассмотрим \(\Delta АВС (\angle B = 90^\circ)\): т. к. \(\Delta АВС\) равнобедренный, то \(\angle A = \angle C\) по свойству равнобедренного треугольника. По теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle B + \angle C = 180 \longrightarrow \angle A= \angle C = 45^\circ\). Рассмотрим \(\Delta APK : \angle PAK =45^\circ\); \(\angle PKA = 90^\circ \longrightarrow \angle APK = 45^\circ\); - по теореме о сумме углов треугольника \(\longrightarrow \Delta АРК\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника, т. е. \(АК = РК\). Рассмотрим \(\Delta TFC\) : аналогично \(TF = FC\). T. к. \(PK = KF = TF\), то \(AK = KF = FC\). T. e. \(AC = 3KF = 6 см\). Ответ: \(6 см\).