№39391

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите углы ромба, если: а) углы, образованные его стороной с диагоналями, относятся как \(1 : 4\); б) высота ромба в два раза меньше его стороны.

Ответ

а) \(36^circ, 144^circ, 36^circ, 144^circ\); б) \(150^circ, 30^circ, 150^circ, 30^circ\)

Решение № 39375:

a) \(\angle 1 : \angle 2 = 1 : 4\). Пусть \(\angle ABD = х\), тогда \(\angle ВАC = 4х\). По теореме о сумме углов \(\Delta АОВ\): \(\angle ABO + \angle AOB + \angle OAB = 180^\circ\); \(5x + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow 5x = 90^\circ\); \(x = 18^\circ\); т. е. \(\angle ABO = 18^\circ\). По свойству диагоналей ромба: \(\angle ABO = \angle CBO \Rightarrow \angle ABC = 2\angle ABO = 36^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы ромба (\Rightarrow \angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 144^\circ\). По свойству ромба \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), т.е. \(\angle C = 144^\circ\), а \(\angle D = 36^\circ\). б) Рассмотрим \(\Delta AHD\): \(\angle H = 90^\circ\); \(AH = \fraq{1}{2}AD \Rightarrow \angle ABC = 30^\circ\) (т. к. если катет равен половине, гипотенузы, то угол, противолежащий катету, равен \(30^\circ\)). \(\angle D\) и \(\angle A\) - соседние углы ромба \(\Rightarrow \angle D + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A = 150^\circ\). По свойству ромба \(\angle B = \angle D\) и \(\angle A = \angle C\), т. e. \(\angle C = 150^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\).