№39390
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Из точки окружности проведены две перпендикулярные хорды, удаленные от центра окружности на 3 см и 5 см. Найдите длины этих хорд.
Ответ
10 см, 6 см.
Решение № 39374:
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем \(OH_{1} \perp AB\) и \(OH_{2} \perp BC\). Рассмотрим четырехугольник \(ОН_{1}ВН_{2}\): \(\angle B = 90^\circ\) по условию, \(\angle OH_{1}B = \angle OH_{2}B = 90^\circ\) по построению \(\Rightarrow \angle H_{1}OH_{2} = 90^\circ\) (из теоремы о сумме углов четырехугольника). Т. е. \(ОН_{1}ВН_{2} - прямоугольник (по определению). Пусть \(ОН_{1} = 3\) см, \(ОН_{2} = 5\) см. По свойству прямоугольника \(OH_{1} = ВН_{2}\) и \(Н_{1}В = ОН_{2}\), т.е. \(Н_{1}В = 5\) см, \(ВН_{2} = 3\) см. Проведем \(ОА\) и \(ОС\). \(ОA = ОВ = OC\) как радиусы. Рассмотрим \(\Delta АОВ\) - равнобедренный: \(ОН_{1}\) - высота, \(\Rightarrow ОН_{1}\) - медиана \(\Rightarrow АН_{1} = \(Н_{1}В. Аналогично \(ВН_{2} = Н_{2}С \Rightarrow АВ = 10\) см, \(ВС = 6\) см.