№39388

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Точка пересечения диагоналей прямоугольника удалена от двух его сторон на 3 см и 4 см. Найдите периметр прямоугольника.

Ответ

28 см.

Решение № 39372:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем \(ОН_{1} \perb BC\), \(ОН_{2} \perb CD\), \(ОН_{3} \perb AD\) и \(ОН_{4} \perb AB\). Рассмотрим \(\Delta АОВ\) и \(\Delta DOC\): \(АO = ОВ = OC = OD\) (по свойству диагоналей прямоугольника), \(\angle BОA = \angle COD\) (как вертикальные) \(\Rightarrow \Delta АОВ = \Delta DOC (по двум сторонам и углу между ними) \(\Rightarrow ОН_{2} = ОН_{4}\). Аналогично \(\Delta ВОС = \Delta AOD \Rightarrow ОН_{1} = ОН_{3}\). Т. е. т. \(О\) равноудалена от противолежащих сторон прямоугольника \(\Rightarrow\) т. \(О\) удалена от соседних сторон прямоугольника на расстояние 3 см и 4 см. Пусть \(ОН_{1} = 3\) см, \(ОН_{2} = 4\) см \(\Rightarrow OH_{3} = 3\) см, \(ОН_{4} = 4\) см. Рассмотрим четырехугольник \(ВСН_{2}Н_{4}\): \(H_{2}H_{4} = 8\) см, \(\angle B = \angle C = \angle H_{2} = \angle H_{4} = 90^\circ \Rightarrow BCH_{2}H_{4}\) - прямоугольник. По свойству прямоугольника \(ВС = Н_{2}Н_{4}\), т. e. \(BC = 8\) см. Аналогично: \(АВН_{1}Н_{3}\) - прямоугольник. \(Н_{1}Н_{3} = 6\) см. По свойству прямоугольника: \(AB = Н_{1}Н_{3}\), т. е. \(АВ = 6\) см. \(P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (6 + 8) = 28\) (см).