№39380

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагонали прямоугольника пересекаются под углом \(80^\circ\). Найдите углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника.

Ответ

\(50^\circ\) и \(40^\circ\).

Решение № 39364:

По свойству прямоугольника \(АO = ОВ \Rightarrow \Delta АОВ\) - равнобедренный по определению. По свойству равнобедренного треугольника: \(\angle OBA = \angle OAB\). По теореме о сумме углов треугольника в \(\Delta АОВ\): \(\angle AOB + \angle OBA + \angle OAB = 180^\circ \Rightarrow \angle OAB = (180^\circ - 80^\circ) : 2 = 50^\circ\). По определению прямоугольника \(\angle BAD = 90^\circ\). Но \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD\), т. e. \(90^\circ = 50^\circ + \angle CAD \Rightarrow \angle CAD = 40^\circ\).