№39366

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Высоты треугольника \(АВС\), проведенные из вершин \(А\) и \(В\), пересекаются в точке \(О\), причем \(АО = ВО\) . Докажите, что треугольник \(АВС\) равнобедренный.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39350:

Дано: \(\Delta АВС\). \(АН\) и \(ВК\) - высоты. т. \(О\) - пересечение высот. \(АО = ОВ\). Доказать: \(\Delta АВС\) - равнобедренный. Рассмотрим \(\Delta АОК\) и \(\Delta ВОН\): \(\angle AOK = \angle BOH\) (как вертикальные), \(\angle OHB = \angle OKA = 90^\circ\) \(AO = OB \longrightarrow \Delta AOK = \Delta BOH\)по гипотенузе и острому углу) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. T. e. \(\angle KAO = \angle HBO\). Рассмотрим \(\Delta АОВ: АО = ОВ \longrightarrow \Delta АОВ\) - равнобедренный, \(\longrightarrow\) по свойству равнобедренного треугольника \(\angle OAB = \angle OBA\). \( \angle KAB = \angle KAH + \angle HAB\) и \( \angle HBA = \angle HBO + \angle OBA\). T. к. \(\angle OAB = \angle OBA\) и \(\angle KAO = \angle HBO\), то \(\angle KAB = \angle HBA, \longrightarrow \Delta ACB\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.