№39363

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажите.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39347:

Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A\ = \angle C),\(\angle B = \angle D\) Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). T. к. \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\), то \(2(\angle A + \angle B) = 360^/circ\), \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle В\) являются внутренними односторонними углами при прямых \(AD\) и \(ВЕ\) всекущей \(АВ\), т. к. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(AD \parallel ВС\) по признаку параллельных прямых. \(\angle B = \angle D \longrightarrow \angle A + \angle D = 180^/circ\). \(\angle A\) и \(\angle D) являются внутренними односторонними при прямых \(АВ\) и \(DC\) и секущей \(AD\), T. к. \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то \(AB \parallel DC\) по признаку параллельных прямых. В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\),\(AD \parallel BC \longrightarrow ABCD\) -параллелограмм по определению.