№39362

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

По данным рис. 26 докажите, что четырехугольник \(АВСD\) — параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39346:

а) Дано: \(AECF\) параллелограмм. \(EK = FM\), \(LC = AN\). Доказать: \(ABCD\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(AECF: EC AF\) и \(AE \parallel CF \longrightarrow AN \parallell LC\) и \(KA \parallel CM\). T. к. \(LC \parallel AN\) и \(LC = AN\), то \(ALCN\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По определению параллелограммa \(ALCN \longrightarrow AL \parallel CN \longrightarrow \(AB \parallel CD\). По свойству цараллелограмма \(АЕСF: AE = CF\) и т.к. \(KE = MF\), то \(AK = CM\). Т. к. \(АК = CМ\) т.к. \(AK /parallel CM\), то \(AKCM\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. По определению параллелограмма \(AKCM: KC \parallel AM \longrightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD \longrightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. б) Дано: \(KLMN\) - параллелограмм. \(\angle KLF = \angle ENM\); \(\angle LRK= \angle NTM\). Доказать: \(ABCD\) параллелограмм. Доказательство: По свойству параллелограмма \(KLMN\): \(\angle L = \angle N\) и \(LM = KN\), \(KL = MN\). т. к. \(\angle KLF = \angle MNE\), то \(\angle FLM = \angle ENK\). По определению параллелограмма \(LM \parallel KN\). \(\angle KFL\) и \(\angle FLM\) - внутренние накрест лежащие при \(LM \parallel KN\) и секущей \(LF \longrightarrow \angle KFL = \angle FLM \longrightarrow \angle LFK = \angle ENK\). \(\angle LFK\) и \(\angle ENK\) являются соответственными при прямых \(LF\) и \(NE\) и секущей \(KN \longrightarrow LF \parallel NE\) по признаку параллельных прямых, \(\longrightarrow AB \parallel CD\). Рассмотрим \(\Delta KLP\) и \(\Delta TWM: \angle LPK = \angle MTN, \angle KLM = \angle MNT \longrightarrow \angle LKP = \angle NMT\). \(KL = MN\). \(\longrightarrow \Delta LKP = \Delta NMT\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, т. е. \(LP = TN\). T. к. \(LM = KN\) и \(LP = TN\), то \(KT = PM\). В четырехугольнике \(КРМТ: КТ \paralle РМ\) и \(КТ = PM, \longrightarrow КРМТ\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(KPMT: KP \parallel MT \longrightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD: AB \parallel CD, BC \parallel AD, \longrightarrow ABCD\) - параллелограми по определению.