Задача №39361
№39361
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
На рис. 25 четырехугольник \(KLMN\) является параллелограммом. Докажите, что четырехугольник \(АВСD\) тоже является параллелограммом.
Ответ
Утверждение доказано.
Решение № 39345:
а) По свойству параллелограмма \(KLMN\): \(LM = KN\) и \(KL = MN\). По определению параллелограмма \(LM \parallel KN\) и \(KL \parallel MN\). \(LM = LT + TM\), \(KN = KR + RN\), т. к. \(LM = KN\) и \(KR = TM\), то \(LT = RN\). Т. е. в четырехугольнике \(LTNR\): \(LT \parallel NR\) и \(LT = NR\), \(\Rightarrow \(LTNR\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\Rightarrow\) по определейию параллелограмма \(LR \parallel TN \Rightarrow AB \parallel CD\). \(KL = KE + EL\), \(MN = NF + FM\). T. к. \(KL = MN\) и \(LE = NF\), то \(KE = FM\). Т. е. в четырехутольнике \(KEMF\): \(КЕ \parallel MF\) и \(KE = MF \Rightarrow KEMF\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах \(\Rightarrow\) по определению парадлелограмма \(ME \parallel KF \Rightarrow BC \parallel AD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению. б) По свойству параялелограмма \(KLMN\): \(\angle M = \angle K\). T. к. \(\angle TML = \angle RKN \Rightarrow \angle TMN = \angle RKL\). По определению параллелограмма \(KLMN\): \(LM \parallel KN\) и \(KL \parallel NM\). \(\angle LKR\) и \(\angle KRN\) - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(KL\) и \(MN\) и секущей \(KR \Rightarrow \angle LKR = \angle KRN\). \(\Rightarrow \angle KRN = \angle TMN\). \(\angle TMN\) и \(\angle KRN\) - соответственные при прямых \(ТМ\) и \(KR\) и секущей \(MN\). T. к. \(\angle TMN = \angle KRN\), то \(TM \parallel KR\) по признаку параллельных прямых \(\Rightarrow BC \parallel AD\). T. e. \(LE \parallel FN\) и \(LE = FN \Rightarrow FLEN\) - параллелограмм. По определению параллелограмма \(FLEN\): \(FL \parallel EN \Rightarrow AB \parallel DC\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по определению.