№39360
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Диагонали параллелограмма \(АВСD\) пересекаются в точке \(О\). Докажите, что середины отрезков \(АО\), \(ВО\), \(СО\) и \(DО\) являются вершинами другого параллелограмма.
Ответ
Утверждение доказано.
Решение № 39344:
По свойству параллелограмма \(ABCD\): \(AO = OC\) и \(BO = OD\). T. к. т. \(A_{1}\) - середина \(AO\), \(B_{1}\) - середина \(BO\), \(C_{1}\) - середина \(CO\), \(D_{1}\) - середина \(DO\), то \(AA_{1} = A_{1}O = OC_{1} = C_{1}C\), \(BB_{1} = B_{1}O = OD_{1} = D_{1}D\). В четырехугольнике \(А_{1}В_{1}С_{1}D_{1} : В_{1}O = OD_{1}\) и \(А_{1}O = ОС_{1}\) и т. \(О\) является точкой пересечения диагоналей \(\Rightarrow A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.