№39359
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
В параллелограмме \(АВСD\) биссектрисы углов \(В\) и \(D\) пересекают диагональ \(АС\) в точках \(Е\) и \(F\) соответственно. Докажите, что четырехугольник \(ВЕDF\) - параллелограмм.
Ответ
Утверждение доказано.
Решение № 39343:
\(ABCD\) - параллелограмм \(\Rightarrow\) по свойству параллелограмма \(\angle B = \angle D\), \(AB = DC\), \(BC = AD\). T. к. \(BE\) и \(DF\) - биссектрисы \(\angle В\) и \(\angle D\), то \(\angle ABE = \angle EBC = \angle CDF = \angle FDA\). По определению параллелограмма \(AB \parallel DC\). \(AC\) - секущая \(\Rightarrow \angle BAC = \angle DCA\) как внутренние накрест лежащие. Рассмотрим \(\Delta АВЕ\) и \(\Delta CDE\): \(AB = CD\), \(\angle ABE = \angle CDF\). \(\angle BAE = \angle DCF \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CDE\) по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. \(\Rightarrow EB = FD\) и \(AE = FC\). Рассмотрим \(\Delta BCF\) и \(\Delta DAE\): \(\angle BCF = \angle DAF\) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(АС\)). \(BC = AD\), \(AE = FC\), \(\Rightarrow \Delta BCF = \Delta DAE\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов. \(\Rightarrow BF = DE\). В четырехугольнике \(BEDF\): \(BE = DF\) и \(BF = EF \Rightarrow BEDF\) - параллелограмм по признаку о противолежащих сторонах.