№39357

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

По данным рис. 23 докажите, что четырехугольник \(АВСD\) - параллелограмм.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39341:

\(\angle CBD\) и \(\angle ADB\) - внутренние накрест лежащие при прямых \(ВС\) и \(AD\) и секущей \(BD\). T. к. \(\angle CBD = \angle ADB \Rightarrow BC \parallel AD\) по признаку параллельных прямых. Рассмотрим \(\Delta ВОС\) и \(\Delta AOD\): \(\angle BOC = \angle DOA (как вертикальные). \(\angle CBO = \angle ADO\) (по условию). Т. к. сумма углов треугольника \(180^\circ\) и у треугольников \(BOC\) и \(DOA \angle BOC = \angle DOA\) и \(\angle CBO = \angle ADO\), то \(\angle BCO = \angle DAO\). \(AO = OC\) (по условию) \(\Rightarrow \Delta BOC = \Delta DOA\) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов \(\Righatrrow BC = AD\). В четырехугольнике \(ABCD\): \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о двух сторонах. б) Проведем диагональ \(АС\). По свойству диагоналей параллелограмма \(AECF\): \(EO = OF\), \(AO = OC\). \(BO= BE + EO\); \(DO = FD + FO\), т. e. \(BE = FD\) и \(EO = OF \Rightarrow BO = OD\). В четырехугольнике \(ABCD\) т. \(О\) - точка пересечения диагоналей и \(BO = OD\), \(AO = OC \Rightarrow ABCD\) - параллелограмм по признаку о диагоналях.