№39338

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна его основанию.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39322:

\(\Delta АВС\) - равнобедренный \((AB = ВС) \Rightarrow \angle A = \angle C\) (по свойству равнобедренного треугольника). \(E\) - середина \(AB \Rightarrow AE = EB\); \(F\) - cepeдина \(BC \Rightarrow BF = FC\). T. к. \(AB = BC\), то \(AE = EB = BF = FC\), \(\Rightarrow \Delta EBF\) - равнобедренный по определению. \(\Rightarrow \angle BEF = \angle BFE\) (по свойству равнобедренного треугольника). В \(\Delta АВС\) по теореме о сумме углов треугольника \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\); \(\Rightarrow \angle A = (180^\circ - \angle B) : 2\). B \(\Delta EBF\) по теореме о сумме углов треугольника \(\angle BEF + \angle B + \angle BFE = 180^\circ \Rightarrow \angle BEF = (180^\circ - \angle B) : 2\). T. e. \(\angle BEF = \angle A\). \(\angle BEF\) и \(\angle A\) являются соответственными при прямых \(АС\) и \(EF\) и секущей \(AB\), \(\Rightarrow AC \parallel EF\) по признаку параллельных прямых.