№39337

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то все его сто­ роны равны. Докажите. Сформулируйте и докажите обратное утвер­ ждение.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39321:

Рассмотрим \(\Delta AОВ\), \(\Delta CОВ\), \(\Delta COD\) и \(\Delta AОD\): \(\angle AOB = \angle DOA = \angle DOC = \angle BOC = 90^\circ\) (т. к. \(BD \perb AC\)). \(AO = OC\), \(CO = OD\) по свойству диагоналей параллелограмма \(\Rightarrow \Delta АОВ = \Delta CОВ = \Delta COD = \Delta AОD\) по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т. e. \(AB = BC = CD = AD\). Обратное утверждение: если все стороны параллелограмма равны, то его диагонали перпендикулярны. Рассмотрим \(\Delta АОВ\) и \(\Delta СОВ\): \(АО = ОС\) (по свойству диагоналей параллелограмма), \(BO\) - общая, \(АВ = ВС \Rightarrow \Delta AОВ = \Delta СОВ\) по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов \(\Rightarrow \angle BOA = \angle BOC\). \(\angle BOA\) и \(\angle BOC\) - смежные, \(\Rightarrow \angle BOA + \angle BOC = 180^\circ \Rightarrow \angle BOA = \angle BOC = 90^\circ \Rightarrow BD \perb AC\).