№39335

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

(опорная). Угол между высотами параллелограмма, проведен­ными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. Докажите.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39319:

Рассмотрим четырехугольник \(BH_{1}DH_{2}\): по теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle H_{1}BH_{2} + \angle BH_{2}D + \angle D + \angle BH_{1}D = 360^\circ\), т. к. \(ВН_{1}\) и \(ВН_{2}\) - высоты, то \(\angle BH_{1}D = \angle BH_{2}D = 90^\circ\), \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} + 90^\circ + \angle D + 90^\circ = 360^\circ\); \(\angle H_{1}BH_{2} + \angle D = 180^\circ\), \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} = 180^\circ - \angle D\). \(\angle A и \angle D\) - соседние углы параллелограмма, \(\Rightarrow \angle A + \angle D = 180^\circ\), \(\Rightarrow 180^\circ - \angle D = \angle A\). \(\Rightarrow \angle H_{1}BH_{2} = 180^\circ - \angle D = \angle A\).