№39334
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
(опорная). Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой. Докажите.
Ответ
Утверждение доказано.
Решение № 39318:
Дано: \(ABCD\) параллелограмм. Доказать: 1 биссектрисы \(\angle A\) и \(\angle В\) перпендикулярны; 2) биссектрисы \(\angle В\) и \(\angle D\) - параллельны или совпадают. 1) Пусть биссектрисы углов \(А\) и \(В\) пересекаются в т. \(К\). T. к. \(АК\) - биссектриса \(\angle A\), то \(\angleBAK = \fraq{1}{2} \angle A\); \(ВК\) -биссектриса \(\angle B\), то \(\angle ABK = \fraq{1}{2}\angle B\). Поскольку \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние углы параллелограмма, то \(\angle А + \angle B = 180^\circ\). \(\fraq{1}{2} \angle A + \fraq{1}{2} \angle B = \fraq{1}{2} (\angle A = \angle B) = \fraq{1}{2}(\angle A + \angle B\) = \fraq{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\) т.е. \(\angle BAK + \angle ABK = 90^\circ\) Рассмотрим \(\Delta ABK\): по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABK + \angle BKA + \angle KAB = 180^\circ, 90^\circ + \angle BKA = 180^\circ \longrightarrow \angle BKA = 90^\circ\), т. e. \(BK \perp AK\) 2) По свойству углов параллелограмма \(\angle B = \angle D\). \(BK\) биесектриса \(\angle B\); \(DE\) биесектриса \(\angle D \longrightarrow \angle ABK = \angle KBC = \angle EDC = \angle EDA. BC\parallel AD, DE\) - секущая, \(\longrightarrow \angle EDA = \angle CED\) - как внутренние накрест лежащие. \(\longrightarrow \angle CED = \angle CBK\). \(\angle CED\) и \(\angle CBK\) являются соответственными при прямых \(ВК\) и \(DE\) и секущей \(BC\). T. к. \(\angle CED = \angle CBK\), то \(BK \parallel DE\) по признаку параллельных прямых. Биссектрисы углов \(В\) и \(D\) совпадут тогда и только тогда, когда диагональ \(BD\) является биссектрисой угла \(В\).