№39331

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В параллелограмме \(ABCD\) биссектрисы углов \(А\) и \(D\) делят сторону \(ВС\) на отрезки длиной \(5 см\), \(3 см\) и \(5 см\). Найдите периметр параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Ответ

\(42 см\) или \(36 см\). Два случая.

Решение № 39315:

Дано: \(ABCD\) - параллелограмм. Биссектрисы углов \(А\) и \(D\) делят \(ВС\) на отрезки \(5 см\), \(3 см\), \(5 см\). Найти: \(Р\). \(BC \parallel AD; АЕ\) - секущая \(\longrightarrow \angle EAD= \angle BEA\) (как внутренние накрест лежащие). \(BC \parallel AD; DF\) - секущая \(\longrightarrow \angle DFC= \angle FDA\) (как внутренние накрест лежащие). \(AE\) - биссектриса \(\angle A \longrightarrow \angle BAE = \angle EAD, \longrightarrow \angle BAE = \angle BEA, \longrightarrow \Delta ABE\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника \(\longrightarrow АВ = ВЕ\). \(DF\) - биссектриса \( \angle D \longrightarrow \angle FDC= \angle FDA \longrightarrow \angle DFC = \angle FDC, \longrightarrow \Delta FCD\) - равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. \(\longrightarrow FC = CD\). Случай 1: \(BE = FE + FE = 8см\) \(AB = BE = 8 см\) \(BC = BF + FE + EC = 13 см\) Случай 2: \(DE = 5 см\) \(AB = BE = 5 см\) \(BC = BE + EF + FC = 13 см\) По свойству сторон параллелограмма \(AB = DC\); \(BC = AD\). \(P_{ABCD} = AB + BC + DC + AD = 2(AB + BC)\). Случай 1: \(P = 2 \cdot (8 + 13) = 42 см\) Случай 2: \(P = 2 \cdot (5+13) = 36 см\). Ответ: \(42 см\) или \(36 см\). Два случая.