№39315

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них прямой; б) градусные меры двух его углов относятся как 2 : 7; в) разность двух его углов равна \(40^\circ\); г) сумма трех его углов равна \(330^\circ\).

Ответ

a) \(90^\circ; 90^\circ; 90^\circ; 90^\circ\); б) \(40^\circ; 140^\circ; 40^\circ; 140^\circ\); в) \(70^\circ; 110^\circ; 70^\circ; 110^\circ\); г) \(30^\circ; 150^\circ; 30^\circ; 150^\circ\).

Решение № 39299:

Пусть дан параллелограмм \(ABCD\). a) Пусть \(\angle A\) - прямой. Тогда по свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 90^\circ\). Поскольку сумма двух соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 90^\circ\). \(\angle B = \angle D = 90^\circ\). б) Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то данные углы могут быть только соседними. T.e. \(\angle A : \angle B = 2 : 7 \Rightarrow\) если градусная мера \(\angle A = 2х\), то градусная мера \(\angle В = 7х\). T.к. \(\angle A\) и \(\angle B\) соседние, то \(\angle А + \angle B = 180^\circ\); \(2x + 7x = 180^\circ\); \(x = 180 : 9 = 20^\circ \Rightarrow \angle A = 40^\circ\); \(\angle B = 140^\circ\). По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 40^\circ\); \(\angle B = \angle D = 140^\circ\). в) Т.к. противолежащие углы параллелограмма равны, то данные углы - соседние. Пусть \(\angle B - \angle A = 40^\circ \Rightarrow \angle B = \angle A + 40^\circ\). Сумма соседних углов \(180^\circ\), т.e. \(\angle B + \angle A = 180^\circ\); \(2\angle A + 40^\circ = 180^\circ\); \(\angle A = 70^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle C = \angle A = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 110^\circ\). г) Пусть \(\angle A + \angle B + \angle C = 330^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \Rightarrow \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 30^\circ\). T.к. сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle D + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle A =150^\circ\). По свойству углов параллелограмма \(\angle A = \angle C = 150^\circ\); \(\angle B = \angle D = 30^\circ\).