№39314

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите углы параллелограмма, если: а) один из них равен \(110^\circ\); б) один из них на \(70^\circ\) меньше другого; в) сумма двух его углов равна \(90^\circ\); г) диагональ образует с его сторонами углы \(30^\circ\) и \(45^\circ\).

Ответ

a) \(110^\circ; 70^\circ; 110^\circ; 70^\circ\); б) \(55^\circ; 125^\circ; 55^\circ; 125^\circ\); в) \(45^\circ; 135^\circ; 45^\circ; 135^\circ\); г) \(105^\circ; 75^\circ; 105^\circ; 75^\circ\).

Решение № 39298:

a) Пусть \(\angle A = 110^\circ\); \(\angle A = \angle C\); \(\angle B = \angle D\) (по свойству углов параллелограмма) \(\Rightarrow \angle C = 110^\circ\). Поскольку сумма соседних углов \(180^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\); \(\angle B = \angle D = 70^\circ\). б) Поскольку противолежащие углы равны, то данные углы могут быть только соседними. Пусть \(\angle A\) больше \(\angle B\) на \(70^\circ\), т. е. \(\angle A = х \Rightarrow \angle B = х + 70^\circ\). По свойству соседних углов параллелограмма \(\angle A + \angle B = 180^\circ\); \(x + x + 70^\circ = 180^\circ\); \(2x = 110^\circ\); \(x = 55^\circ\); \(\angle A = 55^\circ \Rightarrow \angle B = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ\). По свойству противолежащих углов: \(\angle C = \angle A\), \(\angle D = \angle B\). в) Поскольку сумма соседних углов \(180^\circ\), то данные углы могут быть только противолежащими. Пусть \(\angle A + \angle C = 90^\circ\). Тогда по свойству углов параллелограмма \(\angle А = \angle C = 90 : 2 = 45^\circ\). \(\angle A\) и \(\angle B\) - соседние \(\Rightarrow \angle A + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 135^\circ\); \(\angle D = \angle B = 135^\circ\). г) Поскольку \(30^\circ + 45^\circ < 90^\circ\), то диагональ выходит из вершины острого угла. По аксиоме измерения углов \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ\). \(\angle BAD\) и \(\angle B\) - соседние \(\Rightarrow \angle B + \angle A = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 105^\circ\). По свойству углов параллелограмма: \(\angle B = \angle D = 105^\circ\); \(\angle A = \angle C = 75^\circ\).