Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, свойства и признаки параллельности двух прямых,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите все углы, которые образовались при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) пять из них не острые; б) сумма двух внутренних накрест лежащих углов в пять раз меньше суммы двух других внутренних углов; в) сумма шести из них равна \(620^\circ\).

Ответ

а) \(90^\circ\); б) \(30^\circ\) и \(150^\circ\); в) \(50^\circ\) и \(130^\circ\).

Решение № 38974:

Для решения задачи найдем все углы, которые образовались при пересечении двух параллельных прямых секущей. Рассмотрим каждый пункт отдельно. ### а) Пять из них не острые <ol> <li>При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов. Обозначим их как \( \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta \).</li> <li>По условию, пять из этих углов не острые. Не острый угол — это угол, который больше или равен \(90^\circ\).</li> <li>Сумма всех восьми углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна \(360^\circ\).</li> <li>Если пять углов не острые, то каждый из них больше или равен \(90^\circ\).</li> <li>Таким образом, сумма этих пяти углов будет больше или равна \(5 \times 90^\circ = 450^\circ\).</li> <li>Остальные три угла должны быть меньше или равны \(360^\circ - 450^\circ = -90^\circ\), что невозможно.</li> <li>Следовательно, задача не имеет решения при данных условиях.</li> </ol> ### б) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов в пять раз меньше суммы двух других внутренних углов <ol> <li>Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — два внутренних накрест лежащих угла.</li> <li>Пусть \( \gamma \) и \( \delta \) — два других внутренних накрест лежащих угла.</li> <li>По условию, \( \alpha + \beta = \frac{1}{5} (\gamma + \delta) \).</li> <li>Сумма всех внутренних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна \(180^\circ\).</li> <li>Таким образом, \( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ \).</li> <li>Подставим \( \alpha + \beta = \frac{1}{5} (\gamma + \delta) \) в уравнение: \[ \frac{1}{5} (\gamma + \delta) + \gamma + \delta = 180^\circ \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 5: \[ \gamma + \delta + 5(\gamma + \delta) = 900^\circ \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 6(\gamma + \delta) = 900^\circ \] \[ \gamma + \delta = 150^\circ \] </li> <li>Тогда \( \alpha + \beta = \frac{1}{5} \times 150^\circ = 30^\circ \).</li> <li>Таким образом, \( \alpha + \beta = 30^\circ \) и \( \gamma + \delta = 150^\circ \).</li> </ol> ### в) Сумма шести из них равна \(620^\circ\) <ol> <li>Сумма всех восьми углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна \(360^\circ\).</li> <li>По условию, сумма шести из этих углов равна \(620^\circ\).</li> <li>Сумма оставшихся двух углов будет: \[ 360^\circ - 620^\circ = -260^\circ \] </li> <li>Это невозможно, так как углы не могут быть отрицательными.</li> <li>Следовательно, задача не имеет решения при данных условиях.</li> </ol> ### Ответ: а) Задача не имеет решения. б) \( \alpha + \beta = 30^\circ \) и \( \gamma + \delta = 150^\circ \). в) Задача не имеет решения.