Экзамены с этой задачей: Треугольники общего вида
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, параллельность и сумма углов треугольника, свойства и признаки параллельности двух прямых,
Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из внутренних односторонних углов на \(30^\circ\) больше другого; б) сумма двух соответственных углов равна \(56^\circ\).
Ответ
а) \(75^\circ\) и \(105^\circ\); б) \(28^\circ\) и \(152^\circ\).
Решение № 38966:
Для решения задачи найдем все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из внутренних односторонних углов на \(30^\circ\) больше другого; б) сумма двух соответственных углов равна \(56^\circ\). ### а) Один из внутренних односторонних углов на \(30^\circ\) больше другого <ol> <li>Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — внутренние односторонние углы, причем \( \alpha > \beta \).</li> <li>Из условия задачи: \( \alpha = \beta + 30^\circ \).</li> <li>Сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна \( 180^\circ \).</li> <li>Запишем уравнение: \[ \alpha + \beta = 180^\circ \] </li> <li>Подставим \( \alpha \) из условия: \[ (\beta + 30^\circ) + \beta = 180^\circ \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 2\beta + 30^\circ = 180^\circ \] </li> <li>Вычтем \( 30^\circ \) из обеих частей уравнения: \[ 2\beta = 150^\circ \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ \beta = 75^\circ \] </li> <li>Теперь найдем \( \alpha \): \[ \alpha = \beta + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ \] </li> <li>Таким образом, внутренние односторонние углы равны \( 75^\circ \) и \( 105^\circ \).</li> <li>Оставшиеся углы при пересечении двух параллельных прямых секущей будут равны \( 75^\circ \) и \( 105^\circ \) (внешние односторонние углы) и \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) и \( 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \) (внутренние разносторонние углы).</li> </ol> ### б) Сумма двух соответственных углов равна \(56^\circ\) <ol> <li>Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) — соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.</li> <li>Из условия задачи: \( \alpha + \beta = 56^\circ \).</li> <li>Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей равны.</li> <li>Следовательно, \( \alpha = \beta \).</li> <li>Запишем уравнение: \[ \alpha + \alpha = 56^\circ \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 2\alpha = 56^\circ \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ \alpha = 28^\circ \] </li> <li>Таким образом, \( \alpha = 28^\circ \) и \( \beta = 28^\circ \).</li> <li>Оставшиеся углы при пересечении двух параллельных прямых секущей будут равны \( 28^\circ \) и \( 28^\circ \) (соответственные углы), \( 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ \) и \( 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ \) (внутренние односторонние углы), и \( 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ \) и \( 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ \) (внешние односторонние углы).</li> </ol> Ответ: а) \( 75^\circ \) и \( 105^\circ \) б) \( 28^\circ \) и \( 152^\circ \)