№38209

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, палаллелограмм,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из точки \(М\) основания \(ВС\) равнобедренного треугольника \(АВС\) проведены перпендикуляры \(MB_{1}\), и \(MC_{1}\), к прямым \(АС\) и \(АВ\), \(ВН\) - высота этого треугольника. Докажите, что \(MB_{1} + MC_{1} = ВН\).

Ответ

Утверждение доказано

Решение № 38193:

Проведите из точки \(М\) перпендикуляр \(MD\) к прямой \(ВН\). Тогда четырёхугольник \(MDHB\), параллелограмм \(и даже прямоугольник\). Поэтому \(\angle BMD = \angle BCH - \angle MBC_{1}, и, значит, прямоугольные треугольники \(BMD\) и \(MBC\), равны. В частности, \(BD = MC\),. Противоположные стороны \(MB\), и \(DH\) параллелограмма \(MDHB\), равны, поэтому \(BH = BD + DH = МС_{1} + MB\).