№36232

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Евлампия является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(25t^{2}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(t\) изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(9t^{3}\) часов в неделю, то они производят \(t\) изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Евлампия платит рабочему 100 д. е. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 15 изделий. Какую наименьшую сумму (в д. е.) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Ответ

1196100

Решение № 36218:

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(25x^{3}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе, \(9y^{3}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(x+y\) единиц изделий, а затраты на оплату труда составят \(100(25x^{3}+9y^{3})\) д. е. Обозначим \(100(25x^{3}+9y^{3})\) через \(a\), т. е. введём параметр (целевую функцию). Таким образом, нужно найти наименьшее значение функции \(a=100(25x^{3}+9y^{3})\) при условии \(x+y=15\), откуда \(y=15-x\). Тогда \(a=100(25x^{3}+9(15-x)^{3})\). Требуется найти наименьшее возможное значение функции \(a=100(25x^{3}+9(15-x)^{3})\), где \(0\leq x\leq 15\). Найдём производную функции: \(a'=100(25\cdot Зx^{2}-9\cdot 3\cdot (15-x)^{2})\), откуда \(a'=300(25x^{2}-9(15-x^{2})\). Производная обращается в нуль, если \(25x^{2}-9(15-x)^{2}=0\), т. е. если \(\left\[\begin{matrix} 5x=3(15-x),\\5x=-3(15-x)\) \end{matrix}\right.\), т. е. \(\left\[\begin{matrix} x=5\fracP5}{8}, \\x=-22,5 \end{matrix}\right.\). Условию \(0\leq x\leq 15\) удовлетворяет только \(х=5\frac{5}{8}\). Если \(x\in\left (0; 5\frac{5}{8}\right )\), то \(a'<0\); если \(x\in \left (5\frac{5}{8}; 15\right )\), то \(a'>0\). Значит, \(x=5\frac{5}{8}\) — точка минимума, и, поскольку это единственная точка экстремума на рассматриваемом промежутке, наименьшее значение функции \(a=100(25x^{3}+9(15-x)^{3})\) достигается в этой точке. Но \(x=5\frac{5}{8}\) не является целым числом. Поэтому для вычисления наименьшего значения данной целевой функции на множестве целых чисел нужно найти её значения в двух целых точках, между которыми заключена её точка минимума, т. е. в точках 5 и 6. Сделаем это: \(a(5)=100(25\cdot 5^{3}+9(15-5)^{3})=1212500\); \(a(6)=100(25\cdot 6^{3}+9(15-6)^{3})=1196100\). Меньшим из двух найденных чисел является \(a(6)\). Ответ. 1196100.