№36231

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 28 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(5t^{2}\) д. е. Если на строительстве второго дома работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(3t^{2}\) д. е. Дополнительные суточные накладные расходы (транспорт, питание и т. п.) обходятся в 4 д. е. в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 д. е. при строительстве второго дома. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т. е. суточная зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими? Сколько д. е. в сумме при таком распределении составят все суточные затраты (на зарплату и накладные расходы)?

Ответ

10; 18; 1566

Решение № 36217:

Пусть на строительство первого дома будет направлено \(x\) рабочих, тогда их суточная зарплата составит \(5x^{2}\) д. е., а суточные накладные расходы — \(4x\) д. е. При этом на строительство второго дома будет направлено \((28-x)\) рабочих, их суточная заработная плата составит \(3(28-x)^{2}=Зx^{2}-168x+2352\) д.е., а суточные накладные расходы — \(3(28-x)\) д. е. Значит, все суточные затраты составят \(a=8x^{2}-167x+2436\) д. е. Функция \(a=8x^{2}-167x+2436\) является квадратичной, ветви параболы — её графика — направлены вверх. Наименьшего значения эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины её графика, т. е. в точке \(x_{0}=\frac{167}{16}=10\frac{7}{16}\). Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция \(a=8x^{2}-167x+2436\) достигает наименьшего значения в ближайшей к \(x_{0}\) целой точке, т. е. в точке \(x=10\). Следовательно, на первый объект нужно направить 10 рабочих, на второй объект — 18 рабочих, суточные расходы при этом составят \(a(10)=8\cdot 10^{2}-167\cdot 10+2436=1566\) д.е. Ответ. На первый объект нужно направить 10 рабочих, на второй объект—18 рабочих; суточные затраты составят 1566 д. е.