№36230

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 35 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(7t^{2}\) д. е. Если на втором объекте работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(3t^{2}\) д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими (укажите все возможные варианты)? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?

Ответ

10; 25; 11; 24; 2575

Решение № 36216:

Пусть на первый объект будет направлено \(x\) рабочих, тогда их суточная зарплата составит \(7x^{2}\) д. е. При этом на второй объект будет направлено \((35-x)\) рабочих, а их суточная заработная плата составит \(3(35-x)^{2}=Зx^{2}-210x+3675\) д. е. Значит, суточная зарплата всех рабочих составит \(a=10x^{2}-210x+3675\) д. е. Функция \(a=10x^{2}-210x+3675\) является квадратичной, ветви параболы — её графика — направлены вверх. Наименьшего значения эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины её графика, т. е. в точке \(x_{0}=\frac{105}{10}=10,5\). Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция \(a=10x^{2}-210x+3675\) достигает наименьшего значения в ближайшей к \(x_{0}\) целой точке, т. е. либо в точке \(x=10\), либо в точке \(x=11\). Следовательно, либо на первый объект нужно направить 10 рабочих, а на второй объект — 25 рабочих, либо на первый объект нужно направить 11 рабочих, а на второй объект — 24 рабочих. В любом из этих случаев зарплата всех рабочих составит \(a(10)=10\cdot 10^{2}-210\cdot 10+3675=2575\) д.е. Ответ. На первый объект нужно направить 10 рабочих, а на второй объект — 25 рабочих, либо на первый объект нужно направить 11 рабочих, а на второй объект — 24 рабочих; выплата составит 2575 д.е.