№36229

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 20 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(2t^{2}\) д. е. Если на втором объекте работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(t^{2}\) д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?

Ответ

7; 13; 267

Решение № 36215:

Пусть на первый объект будет направлено \(x\) рабочих, тогда их суточная зарплата составит \(2x^{2}\) д. е. При этом на второй объект будет направлено \((20-x)\) рабочих, а их суточная заработная плата составит \((20-x)^{2}=x^{2}-40x+400\) д. е. Значит, суточная зарплата всех рабочих составит \(a=Зx^{2}-40x+400\) д. е. Функция \(a=Зx^{2}-40x+400\) является квадратичной, ветви параболы — её графика — направлены вверх. Наименьшего значе­ ния эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины ее графика, т. е. в точке \(x_{0}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\). Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция \(a=Зx^{2}-40x+400\) достигает наименьшего значения в ближайшей к \(x_{0}\) целой точке, т. е. в точке \(x=7\). Следовательно, на первый объект нужно направить 7 рабочих, на второй объект — 13 рабочих, а зарплата всех рабочих составит \(a(7)=3\cdot 7^{2}-40\cdot 7+400=267\) д. е. Ответ. На первый объект нужно направить 7 рабочих, на второй объект —13 рабочих; выплата составит 267 д. е.