№36228

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

Макар является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(36t^{3}\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(t\) изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(t^{3}\) часов в неделю, то они производят \(t\) изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Макар платит рабочему 200 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 70 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн рублей) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Ответ

50.4

Решение № 36214:

Пусть на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся \(З6x^{3}\) часов, а на заводе, расположенном во втором городе,—\(y^{3}\) часов. Тогда за неделю будет произведено \(x+y\) единиц изделий, а затраты на оплату труда составят \(200(З6x^{3}+y^{3})\) рублей. Обозначим \(200(З6x^{3}+y^{3})\) через а, т. е. введём параметр (целевую функцию. Таким образом, нужно найти наименьшее значение \(a=200(З6x^{3}+y^{3})\) при условии \(x+y=70\), откуда \(y=70-x\). Тогда \(a=200(З6x^{3}+(70-x))\). Требуется найти наименьшее возможное значение функции функции \(a=200(36x^{3}+(70-x)^{3})\), где \(0\leq x\leq 70\) (объясните почему). Найдём производную функции: \(a'=200(36\cdot Зx^{2}-3\cdot (70-x)^{2})\), откуда \(a'=3\cdot 200(36x^{2}-(70-x)^{2})\). Производная обращается в нуль, если \(36x^{2}-(70-x)^{2}=0\), т. е. если \(\left\[\begin{matrix} 6x=70-x, \\6x=-70+x \end{matrix}\right.\), т. е. \(\left\[\begin{matrix} x=10, \\x=-14 \end{matrix}\right.\). Условию \(0\leq x\leq 70\) удовлетворяет только \(x=10\). Если \(x\in (0; 10)\), то \(a'<0\); если \(x\in(10; 70)\), то \(a'>0\). Значит, \(x=10\) — точка минимума, и, поскольку это единственная точка экстремума на рассматриваемом промежутке, наименьшее значение функции \(a=200(З6x^{3}+(70-x)^{3})\) достигается в этой точке и равно (a=200(36\cdot 10^{3}+(70-10)^{3})=200(6^{2}\cdot 10^{3}+6^{3}\cdot 10^{3})=200\cdot 6^{2}\cdot 10^{3}\cdot 7=50400000. Ответ. 50,4.