№36227

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Задачи с экономическим содержанием, 17

Условие

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи \(x\) кг алюминия в день требуется \(x^{2}\) человеко-часов труда, а для добычи \(y\) кг никеля в день требуется \(y^{2}\) человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов (в кг) можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Ответ

120

Решение № 36213:

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто \(160\cdot 5\cdot 0,1=80\) кг металла. Пусть во второй области алюминий добывают \(t\) рабочих, тогда никель добывают \((160-t)\) рабочих. За сутки они добудут \(\sqrt{5t}\) кг алюминия и \(\sqrt{5(160-t)=\sqrt{800-5t}\) кг никеля. Найдём наибольшее значение функции \(a(t)=\sqrt{5t}+\sqrt{800-5t}\) для натуральных \(t\), не больших 160. Введём векторы \(\vec{m}{1; 1}\) и \(\vec{n}{\sqrt{5t};\sqrt{800-5t}}\). Вычислим длины этих векторов: \(|\vec{m}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\), |\vec{n}|=\sqrt{(\sqrt{5t})^{2}+(\sqrt{800-5t)^{2}}=\sqrt{800}\). Тогда \(a=\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|\cdot cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\). Поскольку \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})\leq 1\), наибольшее значение \(a\) будет равно \(|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{800}=40\). Оно достигается, если \(cos(\widehat{\vec{m}, \vec{n}})=1\), т. е. \(\widehat{\vec{m}, \vec{n}}=0\). Последнее возможно, только если векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены, т. е. если отношения их соответствующих координат равны одному и тому же положительному числу — отношению длин этих векторов: \(\frac{\sqrt{5t}}{1}=\frac{\sqrt{800-5t}}{1}=\frac{\sqrt{800}}{\sqrt{2}}=20\), откуда \(t=80\). Тем самым 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 120 кг металла. Ответ. 120.